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大學試題

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問答題

設B₁={α₁，α₂，α₃}和B₂={β₁，β₂，β₃}是R³的兩組基，已知β₁=2α₁+α₂+3α₃，β₂=α₁+α₂+2α₃，β₃=-α₁+α₂+α₃；σ在基B₁下的對應矩陣為A=，試求：

σ在基B₃={-α₁+2α₂+α₃}下的對應矩陣；

參考答案：

1.問答題設α=（x₁，x₂，x₃）∈R³，證明：σ（α）=（x₁，x₂，-x₃）是線性變換，并分別求它在自然基B₁=ε{₁，ε₂，ε₃}和基B₂={α₁，α₂，α₃}下的對應矩陣，其中：α₁=（1，0，0），α₂=（-1，1，0），α₃=（1，-1，1）

2.問答題設{α₁，α₂，…，α_n}是n維線性空間V的一組基，又V中向量α_n-1在這組基下的坐標（x₁，x₂，…，x_n）全不為0.證明：α₁，α₂，…，α_n，α_n+1中任意n個向量必構成V的一組基，并求α₁在基{α₂，…，α_n，α_n+1}下的坐標.

3.問答題設α，β，γ∈Rⁿ，c₁，c₂，c₃∈R，且c₁c₃≠0，證明：若c₁α+c₂β+c₃γ=0，則L（α，β）=L（β，γ）.

4.問答題設R[x]_b的舊基為B₁={1，x，x²，x³，x⁴}，新基B₂={1，1-x，1+x+x²，1-x+x²+x³，1+x+x²+x³+x⁴}若多項式f（x）在基B₂下的坐標為（1，2，3，4，5）^T，求它在基B₁下的坐標.

5.問答題 設R[x]_b的舊基為B₁={1，x，x²，x³，x⁴}，新基B₂={1，1-x，1+x+x²，1-x+x²+x³，1+x+x²+x³+x⁴}
求多項式p（x）=1+2x+3x²+4x³+5x⁴在B₂下的坐標。